直流回路の分圧・分流

種明かしは、直列につながった抵抗が電圧を、並列につながった抵抗が電流を、 それぞれ抵抗値の比率で分け合うという2つの法則にある。

分圧の法則 — 直列抵抗は、電圧を「自分の抵抗値の比」で受け持つ

2つの抵抗 $R_1$、$R_2$ を直列につなぎ、電源電圧 $V$ を加えたとき、 それぞれの抵抗にかかる電圧 $V_1$、$V_2$ は次の式で求まる。

分子には「電圧を求めたい、その抵抗自身」が来る。抵抗値が大きいほど、自分が受け持つ電圧の 割合も大きくなる——というのは、オームの法則 $V=IR$ を思い出せば当然のことだ。 直列回路には同じ大きさの電流 $I$ が流れているから、抵抗が大きい方が $V=IR$ の右辺も大きくなる。 分圧の法則は、オームの法則をただ2つの抵抗に同時に当てはめただけのものだ。

例題

100Vの電源に、20Ωと30Ωの抵抗を直列に接続した。30Ωの抵抗にかかる電圧は何Vか。

分流の法則 — 並列抵抗は、電流を「相手の抵抗値の比」で受け持つ

並列につないだ2つの抵抗には、今度は電流が分かれて流れる。ここが分圧と紛らわしいところで、 分流だけは分子と分母の抵抗が入れ替わる。

$I_1$（R1に流れる電流）を求める式の分子に、R1ではなくR2が来ている。 なぜか。並列回路では、2つの抵抗に同じ電圧がかかっている。抵抗が小さい方が $I=V/R$ の分母が小さくなるので、電流はたくさん流れる。つまり抵抗が小さいほど、 自分が受け持つ電流の割合が大きくなる——分圧とは逆向きの関係だ。この「逆向き」を 式の形（分子と分母が入れ替わる）が表している。

例題

10Aの電流が流れる回路に、6Ωと4Ωの抵抗を並列に接続した。6Ωの抵抗に流れる電流は何Aか。

抵抗値の大きい6Ω側には、相対的に少ない電流（4A）しか流れない。抵抗の小さい4Ω側に、 残りの6Aが流れることになる。

電池の起電力と内部抵抗 — 見えない抵抗を連立方程式で暴く

ここまでは「値のわかっている2つの抵抗」を分け合う話だった。ここで少し視点を変えて、 電池そのものの中にも抵抗が隠れているという話をする。

実際の電池は、理想的な起電力 $E$[V]と、電池内部の内部抵抗 $r$[Ω]が直列につながった ものとしてモデル化できる。この電池に外部抵抗 $R$[Ω]をつなぐと、回路全体は 「起電力$E$、直列抵抗が$(r+R)$」の単純な直列回路になる。オームの法則をそのまま当てはめると、

という関係が成り立つ。これは、この章の冒頭で見た分圧の考え方——直列につながった抵抗に オームの法則を当てはめる——を、目に見えない内部抵抗にまで広げただけのものだ。

厄介なのは、$E$と$r$が両方とも未知数だという点だ。式1本には未知数が2つ含まれているため、 外部抵抗$R$を1つの値に固定した測定を1回しただけでは、$E$と$r$を別々に決定できない。 そこで、可変抵抗Rの値を2通りに変えて、それぞれの電流を測定する。

未知数が2つ（$E$、$r$）、式も2本そろったので、連立方程式として解ける。

例題

ある電池に可変抵抗Rをつなぎ、R=2Ωのとき電流3A、R=4Ωのとき電流2Aが流れた。 この電池の起電力Eと内部抵抗rを求めよ。

2つの式の右辺が等しいので、

$r=2$Ωを最初の式に代入して、

検算として2つ目の式にも代入すると $2(2+4)=12$V となり、一致する。

電池を並列に接続すると、内部抵抗はどうなるか

ここまでは電池1個（起電力$E$、内部抵抗$r$）を単独で扱ってきた。制御盤の予備電源やバッテリーバックアップでは、 同じ規格の電池を複数個並列に接続して使うことがある。ここで並列接続の分流の考え方がそのまま生きてくる。

起電力$E$・内部抵抗$r$が等しい電池を$n$個並列に接続すると、

起電力はそのまま（電池を並列につないでも電圧は稼げない）だが、内部抵抗は、抵抗の並列合成と同じ考え方で $r/n$に小さくなる。$n$個の内部抵抗$r$が並列につながった状態そのものだと考えれば、これは新しい公式ではなく、 この章の冒頭で見た分流の法則（並列抵抗の合成）をそのまま電池の内部抵抗に当てはめただけだと分かる。

例題

内部抵抗0.2Ω、起電力10Vの電池4個を並列に接続した電源に、抵抗R=0.45Ωの負荷を接続した。負荷Rで消費される 電力を求める。

抵抗の温度係数 — 金属の抵抗は、温めると大きくなる

ここまでは抵抗値を「一定の値」として扱ってきたが、実際の金属導体の抵抗値は温度によって 変化する。多くの金属は、温度が上がると抵抗値も大きくなる。基準温度 $t_0$ での抵抗値を $R_0$、温度係数を $\alpha$ とすると、温度が $t$ になったときの抵抗値 $R_t$ は次の式で求まる。

この式は「基準温度からの温度差」に比例して抵抗が増えていく、という単純な1次式だ。 一定電圧の電源につないだ回路でこの抵抗が発熱して温度が上がると、抵抗値が大きくなる分だけ、 オームの法則 $I=V/R$ より電流はその逆数倍に減っていく。

例題

基準温度20℃で抵抗値100Ω、温度係数 $\alpha=0.004/{}^\circ\text{C}$ の抵抗器がある。 温度が70℃まで上昇したとき、抵抗値はいくらになるか。

この抵抗器を一定電圧の電源につないだままにしておくと、抵抗値が1.2倍になった分だけ、 電流は $1/1.2 \fallingdotseq 0.83$ 倍（約17%減）に落ち着く。

電線の直流抵抗 — 材質・長さ・断面積の3つで決まる

ここまでは「抵抗値がすでに分かっている」前提で分圧・分流を計算してきた。ここで少し土台に 戻り、その抵抗値そのものが何によって決まるかを見ておく。電線1本の直流抵抗$R$は、 次の式で求まる。

$\rho$（ロー）は材質ごとに決まった抵抗率[Ω・m]、$L$は電線の長さ[m]、$A$は電線の 断面積[m²]だ。長さが長いほど（電子が通る道のりが長いほど）抵抗は大きくなり、断面積が 広いほど（電子が通れる道幅が広いほど）抵抗は小さくなる——水道管の長さと太さのイメージに 近い。

例題

銅（抵抗率$\rho=1.68\times10^{-8}$Ω・m）でできた、長さ200m、断面積$2\times10^{-6}$m² （2mm²）の電線がある。この電線の直流抵抗$R$を求める。

例題（材質が違う2本の電線を比較する）

次の2種類の電線を比較する。A：銅（$\rho=1.68\times10^{-8}$Ω・m）、長さ500m、断面積 $3\times10^{-6}$m²（3mm²）。B：アルミニウム（$\rho=2.75\times10^{-8}$Ω・m）、長さ500m、 断面積$5\times10^{-6}$m²（5mm²）。

銅（A）の方が抵抗率は小さいのに、断面積もAの方が小さい（3mm²<5mm²）ため、2つの効果が 打ち消し合い、結果はほぼ同じ（むしろわずかにAの方が大きい）という結果になる。

抵抗器の許容電力・許容電流 — 組み合わせると、ボトルネックが入れ替わることがある

ここまでは「抵抗値」だけを見て分圧・分流を計算してきたが、実際の抵抗器には 許容電力（定格ワット数）$P$[W] という、もう1つの制約がある。これを超えて電流を 流し続けると、抵抗器は発熱して破損する。

許容電力と抵抗値$R$から、その抵抗器に流せる電流の上限（許容電流）$I_{max}$、 かけられる電圧の上限（許容電圧）$V_{max}$は、電力の式$P=I^2R=V^2/R$を逆算して 次のように求まる。

定格の異なる2つの抵抗器を直列につなぐと、回路のどこでも同じ電流が流れる。 したがって、$I_{max}$が小さい方の抵抗器が、回路全体で流せる電流の上限を決める ——鎖の強度がいちばん弱い輪で決まるのと同じ理屈だ。一方、並列につなぐと、 それぞれの抵抗器には同じ電圧がかかる。したがって、$V_{max}$が小さい方の抵抗器が、 回路全体にかけられる電圧の上限を決める。

例題

許容電力0.25W・抵抗値10ΩのAと、許容電力1W・抵抗値625ΩのBがある。

直列に接続したときの許容電流は、

小さい方のB（40mA）が直列回路全体の許容電流になる。ワット数はBの方が4倍大きいのに、 抵抗値がそれ以上（62.5倍）に大きいため、許容電流はBの方が小さくなる。

一方、並列に接続したときの許容電圧は、

今度は小さい方のA（約1.58V）が並列回路全体の許容電圧になる。直列ではBがボトルネック だったのに、並列ではAがボトルネックに入れ替わっている——これが$I_{max}$と$V_{max}$の式で 抵抗値$R$の位置（分母か分子か）が逆転することの帰結だ。

なぜ制御盤の中で、この2つが使われているのか

分圧回路の使い道は幅広い。制御盤のセンサー回路で基準電圧を作るのはもちろん、 テスタや電圧計の中にある「倍率器」も、大きな電圧を小さな範囲に収めて測るための分圧回路だ。 一方、電流計の中の「分流器」は分流の法則を使って、大きな電流の一部だけを計器に取り込んでいる。

制御盤の断線検知回路が分圧を使う理由も、この式から読み解ける。センサーが正常なら センサー側の抵抗（$R_2$）は小さく、出力電圧は低い値で安定する。センサーが断線すると $R_2$ が限りなく大きくなり、出力電圧は電源電圧に張り付く。「断線したら電圧が上がる」 という一見直感に反する挙動は、分圧の式がそのまま説明してくれる。

冒頭の制御盤の基板で何が起きていたか、答え合わせは理解度チェックの最後の問題でしてみよう。